NUMEROS ENTEROS

Número Racional

Los números racionales son los que se pueden representar por medio de fracciones. Representan partes de algo que se ha dividido en partes iguales. Por ejemplo, si cortamos una naranja en 4 trozos iguales y tomamos tres trozos de esta, nos hemos comido 3/4 de la naranja.

Un número racional es también, todo número  que puede representarse como el cociente  de dos enteros con denominador distinto de cero (una fracción común).

Son ejemplos de números racionales:

, , 

También son números racionales los números enteros:

entre otros. 

Un mismo número racional se puede expresar con varias fracciones. Por ejemplo:

se puede expresar como:

 

De todas estas formas, la primera se llama fracción irreducible y las demás fracciones equivalentes.

Los números racionales son infinitos. Aunque parezca increíble podemos asociar un número natural a cada número racional. Muchas veces los números racionales se expresan como números decimales. Por ejemplo:

Se pueden clasificar en dos grupos: Limitados y periódicos. Estos últimos se pueden clasificar a su vez, en periódicos puros y periódicos mixtos.

• Limitados: son los que en su representación decimal tienen un número fijo de números. Por ejemplo:
  
• Periódicos : son los que en su representación decimal tienen un número ilimitado de números. Hay dos tipos de números periódicos:
  
  • Los puros: cuando un número, o grupo de números, se repite ilimitadamente, desde el primer decimal. (Por ejemplo: 3.838383...).
     
  • Los mixtos: un número o grupo de números se repite ilimitadamente a partir del segundo o posterior decimal (por ejemplo 3.27838383...).

A veces, nos dan el número decimal y nos piden que calculemos el número fraccionario. Si quieres saber cómo se calcula dicha fracción entra al sitio que te recomendamos a continuación: Tipos de decimales.

Fracciones equivalentes:

Simplificación de fracciones

La simplificación de una fracción consiste en transformarla
     en una fracción equivalente más simple.

En la simplificación de fracciones se dividide numerador y
    denominador por un mismo número.

Se empieza a simplificar probando por los primeros
    números primos: 2, 3, 5, 7, ... Es decir, probamos a
    dividir numerador y denominador entre 2 mientras se pueda,
     después pasamos al 3 y así sucesivamente.

Se repite el proceso hasta que no haya más divisores comunes.

Si los términos de la fracción terminan en ceros,
    empezaremos quitando los ceros comunes finales del
     numerador y denominador.

Si el número por el que dividimos es el
 máximo común denominador del numerador y denominador
        llegamos a una fracción irreducible.

m.c.d.(8, 36) = 4

COMPLIFICACIÓN(AMPLIFICACIÓ

multiplicamos el numerador y el denominador de la fracción por el mismo número.  Complificar es Amplificar; Por ejemplo, si la fracción se amplifica por dos, significa que aumentará su  valor al doble. Siempre que se amplifique una fracción se obtendrán fracciones equivalentes Amplificar : Es multiplicar el denominador y numerador de una fracción por un mismo número.  Este número permite que la fracción aumente de valor tantas veces como veces se amplifica. Siempre que se amplifique una fracción se obtendrán fracciones equivalentes; es decir, fracciones que representan la misma cantidad. Ejemplos: Recapitulando:

     
  NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO PURO

Si divides  verás que los restos se repiten y hacen que las cifras del cociente sean iguales y esto se repite indefinidamente.

Si divides  verás que siempre se repiten las mismas cifras.

La cifra o cifras  que se repiten se les llama período o parte periódica y se escribe:

Cuando la parte periódica comienza inmediatamente después de la coma decimal nos referimos a un decimal periódico puro.

NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO MIXTO

Si divides 

Si divides 

Si divides 

Vemos que en estos tres casos, el período no comienza después de la coma.

Cuando la parte periódica o período no comienza inmediatamente después de la coma, estamos refiriéndonos a un decimal periódico mixto (que tiene mezcla de puro y otro u otros valores).
Podemos decir que los decimales periódicos son de dos clases:
a) Decimales periódicos puros, si la parte periódica o período comienza inmediatamente después de la coma.
b) Decimales periódicos mixtos, si la parte periódica o período no comienza inmediatamente después de la coma.

5.51    Di a qué tipo de número decimal corresponden:

Orden en el conjunto de los números racionales
Los números racionales también representan cantidades, por lo tanto unos pueden
 representar más y otros menos, es decir, hay una relación de orden entre los mismos.
  Debes entonces estar en la capacidad de poder determinar cuándo un número
 fraccionario es mayor que otro.Supón que debemos comparar los números  y , esto es equivalente a
responder la pregunta: ¿qué es mayor, cada una de las partes que quedan cuando
 se dividen cinco unidades en nueve pedazos iguales, o las que resultan de dividir cuatro
unidades en siete?  Procederemos de la siguiente manera:

Paso 1:

Ubicamos las fracciones una al lado de la otra.

Paso 2:

Sin tener en cuenta los signos menos (-) que pueda haber, multiplicamos
el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda, luego
ponemos el resultado de la multiplicación debajo de la primera fracción.

Paso 3:

Nuevamente sin fijarnos en los , multiplicamos el numerador de la segunda
 fracción por el denominador de la primera, después
 ubicamos este resultado debajo de la segunda fracción.

Paso 4:

Ponemos, entre las fracciones, el mismo símbolo de orden que se deba poner
entre las multiplicaciones hechas.  En este caso como  es menor que ,
ubicamos el símbolo  entre ellos.

Paso 5:

Por cada signo negativo que haya en la fracción que quede del lado mayor,
cambiamos el sentido del signo  ó  que hayamos puesto. 
En este caso, al no haber signos  en el número  dejamos el símbolo  tal y
como está.

Podemos concluir entonces que  representa más, o es mayor, que : 

Veamos otro ejemplo, comparemos los racionales  y :

Paso 1:

Ubicamos los números uno al lado del otro.

Paso 2:

Sin tener en cuenta los signos , multiplicamos tres por seis:
.  Luego ponemos el resultado de la multiplicación
debajo de la primera fracción.

Paso 3:

Nuevamente, sin tener en cuenta los signos , multiplicamos ahora
 cuatro por cinco: .  Después ubicamos este resultado
 debajo de la segunda fracción.

Paso 4:

Como dieciocho es menor que veinte debemos usar el símbolo menor que así:
 .  Ponemos entonces el mismo símbolo entre las fracciones: .

Paso 5:

Como hay un signo  en la fracción que quedo al lado mayor:  cambiamos
 el sentido del signo  una vez.  Escribimos entonces entre las fracciones:

Podemos concluir que  es mayor que .  Esto era de esperarse pues
los números negativos representan deudas y los positivos tenencias. 
Ahora lo mejor es practicar, así afianzarás lo aprendido y lo recordarás mucho más
 fácil.

Multiplicación de números racionales

El producto entre dos o más números racionales es otro número racional, cuyo numerador y denominador
 son los productos de los numeradores y denominadores de cada uno de los factores.  Veamos un ejemplo:

Para operar más sencillamente conviene simplificar. En la multiplicación entre fracciones se puede simplificar
 cualquier numerador con cualquier denominador.

División de números racionales

Para dividir dos números racionales, se multiplica al dividendo (primera fracción) por el inverso del divisor
(segunda fracción), es decir a la primera fracción se la multiplica por la segunda fracción invertida.
Veamos un ejemplo:

No te olvides que aquí también se respeta la regla de los signos y si es posible hay que simplificar
 la fracción obtenida.

División de fracciones

Es muy sencillo.
Para dividir dos o más fracciones, se multiplican "en cruz". Esto es: el numerador (número de arriba)
de la primera fracción por el denominador (número de abajo) de la segunda fracción, así conseguimos
 el numerador. Para obtener el denominador, tenemos que multiplicar el denominador
 (número de abajo) de la primera fracción por el numerador (número de arriba) de la segunda fracción.

Ejemplo:

Ptenciación de números racionale